Bilangan eksponen adalah cara menulis bilangan yang banyak dipilih oleh para peneliti maupun matematikawan ketika haru menulis angka dengan 0 yang banyak ataupun bilangan desimal yang berada dibelakang banyak 0.
Pengertian Bilangan Eksponen
Bilangan Eksponen adalah bentuk dari sebuah bilangan yang dikalikan dengan bilangan yang sama dan di ulang-ulang, atau lebih mudahnya kita bisa menyebutnya sebagai perkalian yang diulang-ulang. Eksponen juga bisa dikenal sebagai pangkat yang akan menunjukkan nilai derajat kepangkatan.
Eksponen memiliki sifat dan juga bentuk bentuk lainnya yang harus kita kuasai untuk bisa memahami dan menguasainya.
Bentuk Umum
Seperti yang sudah kita ketahui, bilangan eksponen adalah bentuk perkalian dari suatu bilangan yang diulang-ulang. Maka, dari pengertian ini kita bisa melihat bentuk umum bilangan eksponen adalah seperti ini:
an = aaaaaaa …a
(a dikali sebanyak n faktor)
an = a pangkat n, a adalah bilangan real dan n bilangan asli
a = bilangan pokok (basis)
n= besar pangkat
Itulah bentuk dasar dari bilangan ini, dimana bilangan pokok akan dikalikan bilangan itu sendiri secara berulang-ulang. Maka didapatkan lah bentuk an.
Sifat – Sifat Eksponen
Setelah mengetahui bentuk umum dari bilangan ini, yang selanjut harus kamu ketahui adalah sifat-sifatnya. Beberapa diantaranya adalah:
- am x an = am+n (dalam bentuk perkalian, pangkat akan ditambah)
- am ÷ an = am-n (dalam bentuk pembagian, pangkat akan dikurangi)
- (am)n = am x n (jika ada di dalam bentuk kurungan, pangkat akan dikalikan)
- (a x b)n = am x bm (bila ada dua bilangan di dalam kurungan, kemudian diberi pangkat, maka kedua bilangan tersebut akan memiliki pangkat yang sama)
- (a/b)m = am / bm (penyebut tidak boleh sama dengan 0, dan dalam bentuk ini, penyebut dan pembilang akan memiliki pangkat)
- 1 / an = a-n (untuk sifat ini, bila penyebut bernilai positif dan kemudian dipindahkan ke atas, maka penyebut tersebut akan negatif. Begitu pun sebaliknya)
- n√am = am/n (dalam bentuk akar seperti ini, bila disederhanakan n akan menjadi penyebut dan m akan menjadi pembilang. n harus lebih atau sama besar dengan 2)
- a0 = 1 (a tidak boleh sama dengan 0)
Dengan memperhatikan faktor-faktor di atas, maka kamu dapat dengan mudah menggunakan eksponen untuk menyelesaikan pekerjaan atau pun menjawab berbagai pertanyaan mengenai persoalan ini.
Contoh Soal
Mari kita coba menjawab soal ini untuk bisa lebih memahami apa itu bilangan eksponen.
Contoh:
Berapa hasil dari (8a3)2 ÷ 4a4 =
Jawaban:
- = 82 x (a3)2 ÷ 2a4 (pangkat 3 akan dikalikan 2)
- = 64 x a6 ÷ 4 x a4 (64 dibagi 4 menghasilkan 16, lalu pangkat 6 dikurangi 4 karena sesuai dengan sifat bilangan eksponen jika dalam bentuk pembagian maka pangkat akan dikurangi)
- = 16a2
Jenis – Jenis Persamaan Eksponen
berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah :
- 4x – 2x – 6 = 0
- 23x-2 = 128
1. Persamaan eksponen berbentuk ap = aq
Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan ap = aq maka p = q
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
- 23x-2 = 128
- 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
- 42x – 18x + 4 = 0
Jawab :
- 23x-2 = 128
23x-2 = 27
3x – 2 = 7
3x = 9
x = 3 - 5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
5×2 + 6x – 42 = 55(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 5(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 60 – 5x
x2 + 11x – 102 = 0
(x + 17)(x – 6) = 0
x = -17 atau x = 6 - 42x – 18x + 4 = 0
2.22x – 9.2 x + 4 = 0
2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0
2a2 – 9a + 4 = 0
(2a – 1)(a – 4) = 0
a = ½ atau a = 4
Untuk a = ½
2x = ½
2x = 2-1
x = -1
Untuk a = 4
2x = 4
2x = 22
x = 2
Jadi Hp = {-1, 2}
2. Persamaan eksponen berbentuk af(x) = b f(x)
Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)
Contoh :
- Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3
Jawab :
- 25.52x – 5 = 3 2x – 3
52. 52x – 5 = 3 2x – 3
52x – 5 +2 = 3 2x – 3
52x – 3 = 32x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 3/2
3. Persamaan eksponen berbentuk (h(x))f(x) = (h(x))g(x)
- Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
- Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:
(h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)
(h(x))f(x) – g(x) = 1 - Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
- Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)
Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:
h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)
Contoh :
- Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)
Jawab :
- h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0
Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.
- h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6
Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.
- h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4
Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.
- f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
⟺ x2 + x – 6 = 0
⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
⟺ x = -3 atau x = 2
Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}
Tidak ada komentar: