Pembahasan Latihan PTS

1. Jika vektor a = (1   2   3), b = (5   4  –1), c = (4  –1   1) maka vektor a + 2b – 3c adalah.....

Jawab

a + 2b – 3c

2. Diketahui [a] = √3 , [b] = 1 dan [a-b] = 1 maka panjang vektor a + b adalah........

Jawab 

3. Diketahui dua vektor a=2i-3j+4k dan b=5j+5k.nilai a.b adalah....

Jawab 

a = 2i - 3j + 4k,
b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k
ab = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) = 0 - 15 + 20 = 5

4. Diketahui la+bl=2√19, jika lal=4 dan lbl=6 maka la-bl adalah...

Jawab 

|a + b| = 2√19
|a + b|^2 = (2√19)^2
|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)
4^2 + 2ab + 6^2 = 76
16 + 2ab + 36 = 76
2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2
|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2
|a - b|^2 = 28
|a - b| = √28 = 2√7

5. Diketahui vektor a=2i-3J+k, b=pi+2j-k dan c=i-j+3k. jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a-b-c adalah....

Jawab 

 b . c = 0
(p,2,-1) x (1,-1,3) = 0
(p,-2,-3) = 0
p-2-3= 0
p = 5

a-b-c =
(2,-3,1)-(5,2,-1)-(1,-1,3) = (-4,4,-1)

6. Jika sudut antara vektor a=i+akar 2j+pk dan vektor b=i-akar 2j+pk adalah60 derajat,maka p adalah....

Jawab

7. Diketahui titik A(3, 2, -1) , B(1,-2,1) dan C(7,p-1, -5) segaris untuk nilai p...

Jawab 

merupakan vektor posisi dari titik koordinat dengan mengacu kepada titik O ( titik pusat koordinat).

karena segaris, maka 

Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa :

-2 = 4k atau 2= -4k

k = -2/4

k = -1/2

masukkan nilai k pada persamaan -4 = k (p-3)

-4 = k (p-3)

-4 = -1/2 (p -3)

p - 3 = -4 (-2)

p -3 = 8

p = 8  + 3

p = 11

Jadi nilai adalah 1

8. Diketahui titik A(3,1,-4) B(3,-4,6) dan C(-1,5,4) titik p membagi vektor AB sehingga AP:PB=3:2 maka vektor yang di wakili oleh vektor PC adalah...

Jawab 

AP : PB = 3 : 2, maka

p = 

p = 

p = 

p =

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

= 

= 

9. Diketahui panjang proyeksi vector a=(-2,8,4) pada proyeksi vector b=(0,p,4) adalah 8. Nilai p yang tepat adalah...

Jawab 

10. Diketahui vektor a = (p, 2, -1), b = (4, -3, 6) dan c = (2, -1, 3), jika a tegak lurus b, maka hasil dari (a - b).(2c) adalah ...

jawab :

Diketahui :

a = (p, 2, -1)

b = (4, -3, 6)

c = (2, -1, 3)

a tegak lurus b => a.b = 0

Ditanyakan :
(a - 2b) . 3c = .... ?

Jawab :
a . b = 0
(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0
p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0
4p - 6 - 6 = 0
4p = 12
p = 3

a - b
= (p, 2, -1) - (4, -3, 6)
= (3, 2, -1) – (4,-3, 6)
= (-1, 5, -7)

2c = 2(2, -1, 3) = (4, -2, 6)

(a - b) . 2c
= (-1, 5, -7) . (4, -2, 6)
= -1(4) + 5(-2) + (-7)(6)
= -4 - 10 - 42
= -56

1.     11. Diketahui A(1,2,3), B(3,3,1), dan C(7,5,-3). jika A,B, dan C segaris (kolinear) maka AB : BC adalah....

Jawab :

AB = b - a
     = (3,3,1) - (1,2,3)
     = (2,1,-2)

BC = c - b
     = (7,5,-3) - (3,3,1)
     = (4,2,-4)

      AB : BC

(2,1,-2) : (4,2,-4)
(2,1,-2) : 2(2,1,-2)
       1  :  2

Jadi, AB : BC = 1 : 2

1.      12. Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a+b| = |a-b| maka vektor a dan b saling...

Jawab :

|a+b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a-b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

AKAR NYA HILANG JADI

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

=> |a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

=> 4 |a| |b| . cos x = 0

=> 0/4 |a|.|b|

=> 0

cos x = 0 = 90°

1.       13. Diketahui titik A (2,7,8) B (-1,1,-1 dan c ( 0,3,2 ) jika vektor AB mewakili vektor u dan BC mewakili vektor v proyeksi orthogaonal vektor u pada v adalah...

Jawab :

1.    14. Diketahui Vektor a= 2i - 3j + 6k b = i + pj - k saling tegak lurus. Nilai p adalah...

Jawab :

Saling tegak lurus, maka
a . b = 0
(2,-3,6) . (1,p,-1) = 0
2 + (-3p) + (-6) = 0
-3p - 4 = 0
p = -4/3

1.     15. iketahui vektor a=5i +j +7k dan b=3i-j +2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

Jawab :

 16. Diketahui vektor a = 3,-2,1 dan b= 2,y,2. jika z proyeksi a terhadap b dan vektor |z|= 1/2|b|, maka nilai y yang memenuhi adalah....

Jawab :

|z| = ½ |b|
|z| = ½ √(2)² + (y)² + (2)²
|z| = ½ √y² + 8

a.b = (3, -2, 1) × (2, y, 2) = (6 - 2y + 2) = 8 - 2y

Proyeksi a pada b
|z| = a.b / |b|
½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8
½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y
y² + 8 = 2 (8 - 2y)
y² + 8 = 16 - 4y
y² + 4y - 8 = 0

y=−2+2√3  atau −2−2√3

 18. Jika a = (x + 1)i + xj, b = 2xi + (3x +1)j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a. Jika |p| ≤ 2|a| maka nilai x yang memenuhi adalah ….

Jawab :

Panjang proyeksi vektor b  ke a  adalah:

Sementara itu diketahui bahwa:

Sehingga diperoleh:

Pembuat nol pertidaksamaan di atas adalah:

x = −1 dan x = 2

Karena tanda pertidaksamaannya “≤” maka hasil dari pertidaksamaan tersebut berada di antara pembuat nol.

−1 ≤  x ≤ 2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah −1 ≤  x ≤ 2 

 19. Vektor u=2i-j+2k dan vektor v=4i+2j+4k adalah vektor searah?sebab nilai vektor u. v =18
pembahasan :

20.